Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{x}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.1.2

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.1.4

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.1.5

Evaluasi limit dari $\sqrt{2}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sqrt{2 + 0} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.3.2

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt{2 + x} - \sqrt{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 + x}$ sebagai ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 2 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.11

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.13

Kalikan $\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.14

Pindahkan ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4

Karena $- \sqrt{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sqrt{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Langkah 1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Langkah 1.5

Tulis kembali ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}} \cdot 1$

Langkah 1.6

Kalikan $\frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x}}$

Langkah 2.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{2 + x}}$

Langkah 2.4

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + x}}$

Langkah 2.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 2.6

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + 0}}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Langkah 4.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 4.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 4.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 4.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 4.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 4.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.4

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.35355339 \dots$