Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(i - 1)}^{2}$ sebagai $(i - 1) (i - 1)$ .

$(i - 1) (i - 1)$

Langkah 1.2

Perluas $(i - 1) (i - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $i$ dengan $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Langkah 1.3.1.3

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Langkah 1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

Langkah 1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

Langkah 1.3.2

Kurangi $i$ dengan $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

Langkah 1.4

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Langkah 3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Langkah 3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $20$ dan $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $10$ dengan $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Langkah 3.3.2.4

Tambahkan $40$ dan $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $210$ dengan $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Langkah 3.3.3.2

Bagilah $8610$ dengan $3$ .

$2870$

Langkah 4

Evaluasi $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tambahkan $20$ dan $1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Langkah 4.3.1.2

Kalikan $20$ dengan $21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

Langkah 4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 420$

Langkah 4.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $420$ .

$- 420$

Langkah 5

Evaluasi $\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Rumus untuk penjumlahan konstanta adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$(1) (20)$

Langkah 5.3

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$20$

Langkah 6

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$2870 - 420 + 20$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kurangi $420$ dengan $2870$ .

$2450 + 20$

Langkah 7.2

Tambahkan $2450$ dan $20$ .

$2470$