Kalkulus Contoh

$\int {(e^{t} + 1)}^{2} d t$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(e^{t} + 1)}^{2}$ sebagai $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$\int (e^{t} + 1) (e^{t} + 1) d t$

Langkah 1.2

Perluas $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1) d t$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1) d t$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $e^{t}$ dengan $e^{t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Langkah 1.3.1.1.2

Tambahkan $t$ dan $t$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $e^{t}$ dengan $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $e^{t}$ dengan $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Langkah 1.3.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 d t$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $e^{t}$ dan $e^{t}$ .

$\int e^{2 t} + 2 e^{t} + 1 d t$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int e^{2 t} d t + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Langkah 3

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 3.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 3.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Langkah 4

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Langkah 6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{t} d t + \int d t$

Langkah 8

Integral dari $e^{t}$ terhadap $t$ adalah $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + \int d t$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + t + C$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{t} + t + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$\frac{1}{2} e^{2 t} + 2 e^{t} + t + C$