Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

Langkah 1

Tulis kembali $\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ sebagai $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ .

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

Langkah 2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Langkah 3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 3.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 3.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x^{- 3}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

Langkah 5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

Langkah 5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

Langkah 5.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Langkah 7.2

Kalikan $\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ dengan $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Langkah 9

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

Langkah 9.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

Langkah 9.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

Langkah 11.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

Langkah 11.1.3

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Langkah 11.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ pada $7$ dan pada $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Langkah 11.2.2

Evaluasi $- \frac{1}{2 x^{2}}$ pada $7$ dan pada $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Langkah 11.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Langkah 11.2.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Langkah 11.2.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Langkah 11.2.3.5

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Langkah 11.2.3.6

Kalikan $2$ dengan $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Langkah 11.2.3.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

Langkah 11.2.3.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

Langkah 11.2.3.9

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

Langkah 11.2.3.10

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $98$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

Langkah 11.2.3.10.2

Kalikan $2$ dengan $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

Langkah 11.2.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

Langkah 11.2.3.12

Tambahkan $- 1$ dan $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

Langkah 11.2.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $48$ dan $98$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.13.1

Faktorkan $2$ dari $48$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

Langkah 11.2.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.13.2.1

Faktorkan $2$ dari $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Langkah 11.2.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Langkah 11.2.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

Langkah 11.2.3.14

Tulis kembali $\frac{\frac{24}{49}}{2}$ sebagai hasil kali.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 11.2.3.15

Kalikan $\frac{24}{49}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

Langkah 11.2.3.16

Kalikan $49$ dengan $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

Langkah 11.2.3.17

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $98$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.17.1

Faktorkan $2$ dari $24$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

Langkah 11.2.3.17.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.17.2.1

Faktorkan $2$ dari $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Langkah 11.2.3.17.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Langkah 11.2.3.17.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

Langkah 12.1.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

Langkah 12.2

Tambahkan $- \frac{\ln (7)}{98}$ dan $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

Langkah 12.3

Terapkan sifat distributif.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

Langkah 12.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (7)}{98}$ ke dalam pembilangnya.

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

Langkah 12.4.2

Faktorkan $2$ dari $98$ .

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

Langkah 12.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

Langkah 12.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

Langkah 12.5

Kalikan $2 (\frac{12}{49})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{12}{49}$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

Langkah 12.5.2

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Langkah 12.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Bentuk Desimal:

$0.45008346 \dots$