Kalkulus Contoh

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 2 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 2 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ positif.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $4$ dari $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $4 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 \cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $2 \cos (t)$ dari ${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Langkah 4

Konversikan dari $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ ke $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

Langkah 5

Karena turunan dari $- \cot (t)$ adalah $\csc^{2} (t)$ , maka integral dari $\csc^{2} (t)$ adalah $- \cot (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\cot (t)$ .

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arcsin (\frac{x}{2})$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Oleh karena itu, $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ adalah $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Langkah 8.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = \frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.7

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.9

Kalikan $\frac{2 + x}{2}$ dengan $\frac{2 - x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.10

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.11

Tulis kembali $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.11.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(2 + x) (2 - x)$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.11.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.11.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.12

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.14

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.14.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.14.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

Langkah 8.1.15

Gabungkan $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

Langkah 8.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Langkah 8.3

Kalikan $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

Langkah 8.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$