Kalkulus Contoh

$\int x \sqrt[3]{6 x + 7} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sqrt[3]{6 x + 7}$ .

$x (\frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - (\frac{1}{8} \int {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = 6 x + 7$ . Kemudian $d u = 6 d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 6 x + 7$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $6 x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 7]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x + 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [7]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$6$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int u^{\frac{4}{3}} \frac{1}{6} d u$

Langkah 5

Gabungkan $u^{\frac{4}{3}}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{6} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} (\frac{1}{6} \int u^{\frac{4}{3}} d u)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{6 \cdot 8} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Langkah 7.2

Kalikan $6$ dengan $8$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{4}{3}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ sebagai $\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ .

$\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $x$ .

$\frac{x}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 9.2.2

Gabungkan $\frac{x}{8}$ dan ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 9.2.3

Kalikan $\frac{3}{7}$ dengan $\frac{1}{48}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{7 \cdot 48} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 9.2.4

Kalikan $7$ dengan $48$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 9.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $336$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.5.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 (1)}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 9.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $336$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 9.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 9.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Langkah 9.2.6

Untuk menuliskan $- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{8}{8} + C$

Langkah 9.2.7

Gabungkan $- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ dan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

Langkah 9.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

Langkah 9.2.9

Gabungkan $u^{\frac{7}{3}}$ dan $\frac{1}{112}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112} \cdot 8}{8} + C$

Langkah 9.2.10

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

Langkah 9.2.11

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

Langkah 9.2.12

Faktorkan $8$ dari $- 8 u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{112}}{8} + C$

Langkah 9.2.13

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.13.1

Faktorkan $8$ dari $112$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 (14)}}{8} + C$

Langkah 9.2.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 \cdot 14}}{8} + C$

Langkah 9.2.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Langkah 9.2.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Langkah 9.2.15

Untuk menuliskan $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{14}{14}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Langkah 9.2.16

Gabungkan $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ dan $\frac{14}{14}$ .

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Langkah 9.2.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14 - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Langkah 9.2.18

Pindahkan $14$ ke sebelah kiri $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\frac{14 \cdot (x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Langkah 9.2.19

Tulis kembali $\frac{\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8}$ sebagai hasil kali.

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14} \cdot \frac{1}{8} + C$

Langkah 9.2.20

Kalikan $\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14 \cdot 8} + C$

Langkah 9.2.21

Kalikan $14$ dengan $8$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $6 x + 7$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Langkah 11

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{112} (14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}) + C$