Kalkulus Contoh

x^{2} + y^{2} = - 18 x

$x^{2} + y^{2} = - 18 x$

Langkah 1

Solve the equation as

$y$ in terms of

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan

$x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = - 18 x - x^{2}$

Langkah 1.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- 18 x - x^{2}}$

Langkah 1.3

Faktorkan

$x$ dari

$- 18 x - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan

$x$ dari

$- 18 x$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 18 - x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Faktorkan

$x$ dari

$- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 18 + x (- x)}$

Langkah 1.3.3

Faktorkan

$x$ dari

$x \cdot - 18 + x (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{x (- 18 - x)}$

Langkah 1.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

Langkah 1.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

Langkah 1.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

Langkah 2

Set each solution of

$y$ as a function of

$x$ .

$y = \sqrt{x (- 18 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

Langkah 3

Because the

$y$ variable in the equation

$x^{2} + y^{2} = - 18 x$ has a degree greater than

$1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative

$\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Langkah 3.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$x^{2} + y^{2}$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = x^{2}$ dan

$g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah

$n u^{n - 1}$ di mana

$n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali

$\frac{d}{d x} [y]$ sebagai

$y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Langkah 3.2.3

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' + 2 x$

Langkah 3.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena

$- 18$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- 18 x$ terhadap

$x$ adalah

$- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$- 18 \cdot 1$

Langkah 3.3.3

Kalikan

$- 18$ dengan

$1$ .

$- 18$

Langkah 3.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' + 2 x = - 18$

Langkah 3.5

Selesaikan

$y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangkan

$2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y y' = - 18 - 2 x$

Langkah 3.5.2

Bagi setiap suku pada

$2 y y' = - 18 - 2 x$ dengan

$2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Bagilah setiap suku di

$2 y y' = - 18 - 2 x$ dengan

$2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.2.2.2

Bagilah

$y'$ dengan

$1$ .

$y' = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari

$- 18$ dan

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1.1

Faktorkan

$2$ dari

$- 18$ .

$y' = \frac{2 \cdot - 9}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot - 9}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 \cdot - 9}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 9}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari

$- 2$ dan

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.3.1

Faktorkan

$2$ dari

$- 2 x$ .

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.3.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$2 y$ .

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Langkah 3.5.2.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{- x}{y}$

Langkah 3.5.2.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{9}{y} - \frac{x}{y}$

Langkah 3.6

Ganti

$y'$ dengan

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9}{y} - \frac{x}{y}$

Langkah 4

Atur turunan tersebut ahar sama dengan

$0$ dan selesaikan persamaan

$- \frac{9}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tambahkan

$\frac{9}{y}$ ke kedua sisi persamaan.

$- \frac{x}{y} = \frac{9}{y}$

Langkah 4.2

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$- x = 9$

Langkah 4.3

Bagi setiap suku pada

$- x = 9$ dengan

$- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah setiap suku di

$- x = 9$ dengan

$- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{9}{- 1}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{9}{- 1}$

Langkah 4.3.2.2

Bagilah

$x$ dengan

$1$ .

$x = \frac{9}{- 1}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Bagilah

$9$ dengan

$- 1$ .

$x = - 9$

Langkah 5

Solve the function

$f (x) = \sqrt{x (- 18 - x)}$ at

$x = - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$- 9$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 9) = \sqrt{(- 9) (- 18 - (- 9))}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 9$ .

$f (- 9) = \sqrt{- 9 (- 18 + 9)}$

Langkah 5.2.2

Tambahkan

$- 18$ dan

$9$ .

$f (- 9) = \sqrt{- 9 \cdot - 9}$

Langkah 5.2.3

Kalikan

$- 9$ dengan

$- 9$ .

$f (- 9) = \sqrt{81}$

Langkah 5.2.4

Tulis kembali

$81$ sebagai

$9^{2}$ .

$f (- 9) = \sqrt{9^{2}}$

Langkah 5.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 9) = 9$

Langkah 5.2.6

Jawaban akhirnya adalah

$9$ .

$9$

Langkah 6

Solve the function

$f (x) = - \sqrt{x (- 18 - x)}$ at

$x = - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$- 9$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 9) = - \sqrt{(- 9) (- 18 - (- 9))}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 9$ .

$f (- 9) = - \sqrt{- 9 (- 18 + 9)}$

Langkah 6.2.2

Tambahkan

$- 18$ dan

$9$ .

$f (- 9) = - \sqrt{- 9 \cdot - 9}$

Langkah 6.2.3

Kalikan

$- 9$ dengan

$- 9$ .

$f (- 9) = - \sqrt{81}$

Langkah 6.2.4

Tulis kembali

$81$ sebagai

$9^{2}$ .

$f (- 9) = - \sqrt{9^{2}}$

Langkah 6.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 9) = - 1 \cdot 9$

Langkah 6.2.6

Kalikan

$- 1$ dengan

$9$ .

$f (- 9) = - 9$

Langkah 6.2.7

Jawaban akhirnya adalah

$- 9$ .

$- 9$

Langkah 7

The horizontal tangent lines are

$y = 9, y = - 9$

Langkah 8