Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 24 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 48 x + 12$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 48 x$ terhadap $x$ adalah $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 48$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $12 x^{2} - 48$ dan $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{2} - 48 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $48$ ke kedua sisi persamaan.

$12 x^{2} = 48$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $12 x^{2} = 48$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $12 x^{2} = 48$ dengan $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $48$ dengan $12$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 2.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2$ dalam $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = {(2)}^{4} - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (2) = 16 - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Langkah 3.1.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (2)$

Langkah 3.1.2.1.3

Kalikan $- 24$ dengan $4$ .

$f (2) = 16 - 96 + 12 (2)$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$f (2) = 16 - 96 + 24$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Kurangi $96$ dengan $16$ .

$f (2) = - 80 + 24$

Langkah 3.1.2.2.2

Tambahkan $- 80$ dan $24$ .

$f (2) = - 56$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 56$ .

$- 56$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $2$ dalam $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ adalah $(2, - 56)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(2, - 56)$

Langkah 3.3

Substitusikan $- 2$ dalam $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 2) = 16 - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Langkah 3.3.2.1.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (- 2)$

Langkah 3.3.2.1.3

Kalikan $- 24$ dengan $4$ .

$f (- 2) = 16 - 96 + 12 (- 2)$

Langkah 3.3.2.1.4

Kalikan $12$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 96 - 24$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Kurangi $96$ dengan $16$ .

$f (- 2) = - 80 - 24$

Langkah 3.3.2.2.2

Kurangi $24$ dengan $- 80$ .

$f (- 2) = - 104$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 104$ .

$- 104$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 2$ dalam $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ adalah $(- 2, - 104)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 2, - 104)$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(2, - 56), (- 2, - 104)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} - 48$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 48$

Langkah 5.2.2

Kurangi $48$ dengan $52.92$ .

$f'' (- 2.1) = 4.92$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4.92$ .

$4.92$

Langkah 5.3

Pada $- 2.1$ , turunan keduanya adalah $4.92$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Langkah 6.2.2

Kurangi $48$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 48$ .

$- 48$

Langkah 6.3

Pada $0$ , turunan kedua adalah $- 48$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 2, 2)$

Menurun pada $(- 2, 2)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 48$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $2.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 48$

Langkah 7.2.2

Kurangi $48$ dengan $52.92$ .

$f'' (2.1) = 4.92$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4.92$ .

$4.92$

Langkah 7.3

Pada $2.1$ , turunan keduanya adalah $4.92$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 104), (2, - 56)$ .

$(- 2, - 104), (2, - 56)$

Langkah 9