Kalkulus Contoh

$\ln (x^{x})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{x}$ .

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Langkah 2

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $x^{x}$ sebagai $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Langkah 2.2

Perluas $\ln (x^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{1}{x^{x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{x}} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Langkah 4

Gabungkan $e^{x \ln (x)}$ dan $\frac{1}{x^{x}}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 6

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 7.4

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \cdot 1 + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

Langkah 8.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

Langkah 8.2.2

Gabungkan $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ dan $\ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x)}{x^{x}}$