Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{5} \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x - 1$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Langkah 1.3.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5 - 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$u_{upper} = 10 - 1$

Langkah 1.5.2

Kurangi $1$ dengan $10$ .

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{9} \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.2

Gabungkan.

$\int_{1}^{9} \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.6

Kalikan $\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 2.7

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Perluas $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.6

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.7

Kalikan $u^{- \frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$ dan $2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $9$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.6

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.7.1

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.7.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.8

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.9

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{1} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.11

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.12

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{4} (18 + 6 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.13

Tambahkan $18$ dan $6$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.14

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.15

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.2.16

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1))$

Langkah 10.2.17

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2))$

Langkah 10.2.18

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}))$

Langkah 10.2.19

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}))$

Langkah 10.2.20

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 2 \cdot 3}{3})$

Langkah 10.2.21

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.21.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 6}{3})$

Langkah 10.2.21.2

Tambahkan $2$ dan $6$ .

$\frac{1}{4} (24 - \frac{8}{3})$

Langkah 10.2.22

Untuk menuliskan $24$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

Langkah 10.2.23

Gabungkan $24$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

Langkah 10.2.24

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{24 \cdot 3 - 8}{3}$

Langkah 10.2.25

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.25.1

Kalikan $24$ dengan $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{72 - 8}{3}$

Langkah 10.2.25.2

Kurangi $8$ dengan $72$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Langkah 10.2.26

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{64}{3}$ .

$\frac{64}{4 \cdot 3}$

Langkah 10.2.27

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{64}{12}$

Langkah 10.2.28

Hapus faktor persekutuan dari $64$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.28.1

Faktorkan $4$ dari $64$ .

$\frac{4 (16)}{12}$

Langkah 10.2.28.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.28.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Langkah 10.2.28.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Langkah 10.2.28.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{16}{3}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{16}{3}$

Bentuk Desimal:

$5.\overline{3}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$5 \frac{1}{3}$

Langkah 12