Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 2 \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positif.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $4$ dari $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan $4$ dari $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali $4 \sec^{2} (t)$ sebagai ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 \sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $2 \sec (t)$ dari $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (\tan (t))$ .

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\int 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 3

Karena $8$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 4

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$8 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 5

Faktorkan $\tan^{2} (t)$ .

$8 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 6

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 7

Sederhanakan.

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Langkah 8

Biarkan $u = \sec (t)$ . Kemudian $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = \sec (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Langkah 8.1.2

Turunan dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$8 \int - 1 + u^{2} d u$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$8 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$8 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Langkah 13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (t)$ .

$8 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

Langkah 13.2

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$8 (- \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arctan (\frac{x}{2})$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, \frac{x}{2})$ . Oleh karena itu, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ adalah $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$8 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{2}$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14.1.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$8 (- \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 (- \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14.1.6

Tulis kembali $\frac{4 + x^{2}}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.6.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $4 + x^{2}$ .

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14.1.6.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14.1.6.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$8 (- (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14.1.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Langkah 14.1.9

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.10

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.11

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.12

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.14

Tulis kembali $\frac{4 + x^{2}}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.14.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $4 + x^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.14.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.14.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.15

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}^{3}) + C$

Langkah 14.1.16

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2})}^{3}) + C$

Langkah 14.1.17

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{2^{3}}) + C$

Langkah 14.1.18

Gabungkan.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1 {\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

Langkah 14.1.19

Kalikan ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ dengan $1$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

Langkah 14.1.20

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 8}) + C$

Langkah 14.1.21

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.21.1

Tulis kembali ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ sebagai $\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 8}) + C$

Langkah 14.1.21.2

Faktorkan ${(4 + x^{2})}^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{2} (4 + x^{2})}}{3 \cdot 8}) + C$

Langkah 14.1.21.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{(4 + x^{2}) \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Langkah 14.1.21.4

Terapkan sifat distributif.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Langkah 14.1.21.5

Faktorkan $\sqrt{4 + x^{2}}$ dari $4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.21.5.1

Faktorkan $\sqrt{4 + x^{2}}$ dari $4 \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Langkah 14.1.21.5.2

Faktorkan $\sqrt{4 + x^{2}}$ dari $x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 8}) + C$

Langkah 14.1.21.5.3

Faktorkan $\sqrt{4 + x^{2}}$ dari $\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3 \cdot 8}) + C$

Langkah 14.1.22

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Langkah 14.2

Untuk menuliskan $- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Langkah 14.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $24$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ dengan $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Langkah 14.3.2

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{24} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Langkah 14.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24} + C$

Langkah 14.5

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Faktorkan $8$ dari $24$ .

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 (3)} + C$

Langkah 14.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 \cdot 3} + C$

Langkah 14.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Faktorkan $\sqrt{4 + x^{2}}$ dari $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1.1

Faktorkan $\sqrt{4 + x^{2}}$ dari $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.6.1.2

Faktorkan $\sqrt{4 + x^{2}}$ dari $\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.6.3

Tambahkan $- 12$ dan $4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 8 + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.7

Tulis kembali $- 8$ sebagai $- 1 (8)$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.8

Faktorkan $- 1$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

Langkah 14.9

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (8) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8 - x^{2}))}{3} + C$

Langkah 14.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (8 - x^{2})}{3} + C$