Kalkulus Contoh

$\int x \sqrt{4 - x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sqrt{4 - x}$ .

$x (- \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$x (- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 3

Karena $- \frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 4 - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 4 - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 5.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - 1$

Langkah 5.1.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Langkah 8.2

Tulis kembali $- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ sebagai $- \frac{2}{3} x {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$- \frac{2}{3} x {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 8.3.2

Gabungkan ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{x \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 8.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 8.3.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 8.3.5

Gabungkan $u^{\frac{5}{2}}$ dan $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Langkah 8.3.6

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{2 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{3 \cdot 5} + C$

Langkah 8.3.7

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

Langkah 8.3.8

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 8.3.9

Untuk menuliskan $- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 8.3.10

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.10.1

Kalikan $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 8.3.10.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 8.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 8.3.12

Kalikan $5$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - x$ .

$\frac{- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 10

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{15} (- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$