Kalkulus Contoh

$\int e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{3} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{2 x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Langkah 1.1.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2

Gabungkan ${u_{2}}^{3}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{3}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{8} {(1 + e^{2 x})}^{4} + C$