Kalkulus Contoh

$\int x \sin (4 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (4 x)$ .

$x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\cos (4 x)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 4 x$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Langkah 6

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

Langkah 8.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

Langkah 9

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali $- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$ sebagai $- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Langkah 10.2.2

Gabungkan $\cos (4 x)$ dan $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x$ .

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

Langkah 12

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\cos (4 x) x}{4}$ .

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$