Kalkulus Contoh

$y \sin (x^{2}) = x \sin (y^{2})$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y \sin (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x \sin (y^{2}))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$y (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) y'$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (y^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y^{2})] + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y^{2}$ .

$x (\cos (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$x \cos (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x \cos (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \cdot 1$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $\sin (y^{2})$ dengan $1$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2})$

Langkah 3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y' = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$ .

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$ .

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y y' \cos (y^{2}) + \sin (y^{2})$

Langkah 5.3

Kurangkan $2 x y y' \cos (y^{2})$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2})$

Langkah 5.4

Kurangkan $2 x y \cos (x^{2})$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Langkah 5.5

Faktorkan $y'$ dari $y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $y'$ dari $y' \sin (x^{2})$ .

$y' (\sin (x^{2})) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Langkah 5.5.2

Faktorkan $y'$ dari $- 2 x y y' \cos (y^{2})$ .

$y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Langkah 5.5.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2}))$ .

$y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Langkah 5.6

Bagi setiap suku pada $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ dengan $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Bagilah setiap suku di $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ dengan $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ .

$\frac{y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2}))}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.6.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} - \frac{2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Langkah 5.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$