Kalkulus Contoh

$2 x y + y^{2} = x + y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 (x y' + y) + 2 y y'$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

Langkah 2.4.2

Susun kembali suku-suku.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 + y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y = 1 + y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - y' = 1$

Langkah 5.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $2 x y' + 2 y y' - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $2 x y'$ .

$y' (2 x) + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y y'$ .

$y' (2 x) + y' (2 y) - y' = 1 - 2 y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (2 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 x) + y' (2 y)$ .

$y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ dengan $2 x + 2 y - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ dengan $2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x + 2 y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$