Kalkulus Contoh

$x^{2} - 4 x y + y^{2} = 4$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4 x y + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x y$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 y y'$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 2 y y'$

Langkah 2.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 2 y y'$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$- 4 x y' + 2 y y' + 2 x - 4 y$

Langkah 3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 4 x y' + 2 y y' + 2 x - 4 y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 x y' + 2 y y' - 4 y = - 2 x$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $4 y$ ke kedua sisi persamaan.

$- 4 x y' + 2 y y' = - 2 x + 4 y$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 y'$ dari $- 4 x y' + 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2 y'$ dari $- 4 x y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y y' = - 2 x + 4 y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y' y = - 2 x + 4 y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (- 2 x) + 2 y' y$ .

$2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$ dengan $2 (- 2 x + y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$ dengan $2 (- 2 x + y)$ .

$\frac{2 y' (- 2 x + y)}{2 (- 2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (- 2 x + y)}{2 (- 2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2 x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- x}{- 2 x + y} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $4 y$ .

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 (2 y)}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 (2 y)}{2 (- 2 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 y}{- 2 x + y}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- x + 2 y}{- 2 x + y}$

Langkah 5.3.3.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y' = \frac{- (x) + 2 y}{- 2 x + y}$

Langkah 5.3.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (- 2 y)}{- 2 x + y}$

Langkah 5.3.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- (x - 2 y)}{- 2 x + y}$

Langkah 5.3.3.2.5

Tulis kembali $- (x - 2 y)$ sebagai $- 1 (x - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 2 x + y}$

Langkah 5.3.3.2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x) + y}$

Langkah 5.3.3.2.7

Faktorkan $- 1$ dari $y$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x) - 1 (- y)}$

Langkah 5.3.3.2.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x - y)}$

Langkah 5.3.3.2.9

Tulis kembali $- (2 x - y)$ sebagai $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 1 (2 x - y)}$

Langkah 5.3.3.2.10

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 1 (2 x - y)}$

Langkah 5.3.3.2.11

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x - 2 y}{2 x - y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 x - y}$