Kalkulus Contoh

$x \sqrt{3 x + 1}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3 x + 1}$ sebagai ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 3 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 1] + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 12

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 14

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 14.2

Gabungkan $\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $3$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 14.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 16

Kalikan ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 17

Untuk menuliskan ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18

Gabungkan ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20

Kalikan ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Pindahkan ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Sederhanakan ${(3 x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x + (3 x + 1) \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $3 x + 1$ .

$\frac{3 x + 2 \cdot (3 x + 1)}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{3 x + 6 x + 2 \cdot 1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{3 x + 6 x + 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.2

Tambahkan $3 x$ dan $6 x$ .

$\frac{9 x + 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$