Kalkulus Contoh

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 4$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 4$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.3.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.3.4.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Langkah 1.3.6

Kalikan ${(x - 4)}^{3}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan ${(x - 4)}^{2}$ dari $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Faktorkan ${(x - 4)}^{2}$ dari $x (3 {(x - 4)}^{2})$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

Langkah 1.4.1.2

Faktorkan ${(x - 4)}^{2}$ dari ${(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Langkah 1.4.1.3

Faktorkan ${(x - 4)}^{2}$ dari ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

Langkah 1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

Langkah 1.4.2.2

Tambahkan $3 x$ dan $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali ${(x - 4)}^{2}$ sebagai $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

Langkah 1.4.4

Perluas $(x - 4) (x - 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Langkah 1.4.4.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Langkah 1.4.4.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Langkah 1.4.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Langkah 1.4.5.1.2

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Langkah 1.4.5.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Langkah 1.4.5.2

Kurangi $4 x$ dengan $- 4 x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Langkah 1.4.6

Perluas $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.2.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.3

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.5.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.6

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.7

Kalikan $- 4$ dengan $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.8

Kalikan $4$ dengan $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

Langkah 1.4.7.9

Kalikan $16$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Langkah 1.4.8

Kurangi $32 x^{2}$ dengan $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Langkah 1.4.9

Tambahkan $32 x$ dan $64 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 36 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $96$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $96 x$ terhadap $x$ adalah $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.4.3

Kalikan $96$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- 64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 64$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $12 x^{2} - 72 x + 96$ dan $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x^{2} - 72 x + 96$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f''' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Langkah 3.2.3

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$f''' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 72$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 72 x$ terhadap $x$ adalah $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (96)$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (96)$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 72$ dengan $1$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (96)$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $96$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $96$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 + 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $24 x - 72$ dan $0$ .

$f''' (x) = 24 x - 72$

Langkah 4

Cari turunan keempat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $24 x - 72$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Langkah 4.2.3

Kalikan $24$ dengan $1$ .

$f^{4} (x) = 24 + \frac{d}{d x} (- 72)$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 72$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 72$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f^{4} (x) = 24 + 0$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $24$ dan $0$ .

$f^{4} (x) = 24$