Kalkulus Contoh

\int_{0}^{1} \arctan (x) d x

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana

u = \arctan (x)

$u = \arctan (x)$ dan

d v = 1

$d v = 1$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2

Gabungkan

x

$x$ dan

\frac{1}{x^{2} + 1}

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 3

Biarkan

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ . Kemudian

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ sehingga

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan

u

$u$ dan

d

$d$

u

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ . Tentukan

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ .

\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.1.4

Karena

1

$1$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

1

$1$ terhadap

x

$x$ adalah

0

$0$ .

2 x + 0

$2 x + 0$

Langkah 3.1.5

Tambahkan

2 x

$2 x$ dan

0

$0$ .

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk

x

$x$ di

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ .

u_{lower} = 0^{2} + 1

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

u_{lower} = 0 + 1

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 3.3.2

Tambahkan

0

$0$ dan

1

$1$ .

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk

x

$x$ di

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ .

u_{upper} = 1^{2} + 1

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

u_{upper} = 1 + 1

$u_{upper} = 1 + 1$

Langkah 3.5.2

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk

u_{lower}

$u_{lower}$ dan

u_{upper}

$u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan

u

$u$ ,

d u

$d u$ , dan batas integral yang baru.

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ dengan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan

2

$2$ ke sebelah kiri

u

$u$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 5

Karena

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstan terhadap

u

$u$ , pindahkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Langkah 6

Integral dari

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ terhadap

u

$u$ adalah

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi

\arctan (x) x

$\arctan (x) x$ pada

1

$1$ dan pada

0

$0$ .

(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Langkah 7.2

Evaluasi

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ pada

2

$2$ dan pada

1

$1$ .

(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan

\arctan (1)

$\arctan (1)$ dengan

1

$1$ .

\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 7.3.2

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 7.3.3

Kalikan

0

$0$ dengan

\arctan (0)

$\arctan (0)$ .

\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 7.3.4

Tambahkan

\arctan (1)

$\arctan (1)$ dan

0

$0$ .

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Langkah 8.2

Gabungkan

\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ dan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

0

$0$ dan

2

$2$ adalah

2

$2$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Langkah 9.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

0

$0$ dan

1

$1$ adalah

1

$1$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Langkah 9.3

Bagilah

2

$2$ dengan

1

$1$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

Langkah 10

Nilai eksak dari

\arctan (1)

$\arctan (1)$ adalah

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Bentuk Desimal:

0.43882457 \dots

$0.43882457 \dots$