Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Langkah 1

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 x - 1}$ sebagai ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{1}}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Langkah 1.5.2

Kalikan ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

Langkah 1.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.11.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.11.3

Pindahkan ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.11.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{2 x - 1}$

Langkah 1.12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.13

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.15

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

Langkah 1.16

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)}{2 x - 1}$

Langkah 1.17

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.17.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x - 1}$

Langkah 1.17.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.17.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.17.4

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.18

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.18.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}}{2 x - 1}$

Langkah 1.18.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.18.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.19

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.20

Untuk menuliskan ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.21

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.22

Kalikan ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.22.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.22.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.22.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.22.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{1} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.23

Sederhanakan ${(2 x - 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x - 1 - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.24

Kurangi $x$ dengan $2 x$ .

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

Langkah 1.25

Tulis kembali $\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$ sebagai hasil kali.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

Langkah 1.26

Kalikan $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)}$

Langkah 1.27

Kalikan ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $2 x - 1$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.27.1

Kalikan ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.27.1.1

Naikkan $2 x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{1}}$

Langkah 1.27.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Langkah 1.27.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Langkah 1.27.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Langkah 1.27.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x - 1 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3

Selesaikan fungsi asal $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 (1) - 1}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 - 1}}$

Langkah 3.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{1}}$

Langkah 3.2.1.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Langkah 3.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$f (1) = 1$

Langkah 3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 4

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ adalah $y = 1$ .

$y = 1$

Langkah 5