Kalkulus Contoh

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$81 x = x^{5}$

Langkah 1.2

Selesaikan $81 x = x^{5}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $x^{5}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$81 x - x^{5} = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $81 x - x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $81$ sebagai $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Langkah 1.2.2.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Langkah 1.2.2.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 9$ dan $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Langkah 1.2.2.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Langkah 1.2.2.5.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1.2.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 3$ dan $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Langkah 1.2.2.5.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Langkah 1.2.2.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Langkah 1.2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $9 + x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $9 + x^{2}$ sama dengan $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan $9 + x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 9$

Langkah 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Langkah 1.2.5.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1

Tulis kembali $- 9$ sebagai $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Langkah 1.2.5.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (9)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Langkah 1.2.5.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Langkah 1.2.5.2.3.4

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Langkah 1.2.5.2.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 3$

Langkah 1.2.5.2.3.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 3 i$

Langkah 1.2.5.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 3 i$

Langkah 1.2.5.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 3 i$

Langkah 1.2.5.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 3 i, - 3 i$

Langkah 1.2.6

Atur $3 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur $3 + x$ sama dengan $0$ .

$3 + x = 0$

Langkah 1.2.6.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 1.2.7

Atur $3 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Atur $3 - x$ sama dengan $0$ .

$3 - x = 0$

Langkah 1.2.7.2

Selesaikan $3 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 3$

Langkah 1.2.7.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 3$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 1.2.7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 1.2.7.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 1.2.7.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.2.3.1

Bagilah $- 3$ dengan $- 1$ .

$x = 3$

Langkah 1.2.8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ benar.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = {(0)}^{5}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $0$ ke $x$ dalam $y = {(0)}^{5}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0^{5}$

Langkah 1.3.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = 3 i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $3 i$ untuk $x$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan ${(3 i)}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

Langkah 1.4.2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Langkah 1.4.2.3

Faktorkan $i^{4}$ .

$y = 243 (i^{4} i)$

Langkah 1.4.2.4

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.4.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Langkah 1.4.2.4.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Langkah 1.4.2.4.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Langkah 1.4.2.5

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$y = 243 i$

Langkah 1.5

Evaluasi $y$ ketika $x = - 3 i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Substitusikan $- 3 i$ untuk $x$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan ${(- 3 i)}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Langkah 1.5.2.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $i^{4}$ .

$y = - 243 (i^{4} i)$

Langkah 1.5.2.4

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.4.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Langkah 1.5.2.4.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Langkah 1.5.2.4.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Langkah 1.5.2.5

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$y = - 243 i$

Langkah 1.6

Evaluasi $y$ ketika $x = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Substitusikan $- 3$ untuk $x$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Langkah 1.6.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $5$ .

$y = - 243$

Langkah 1.7

Evaluasi $y$ ketika $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$y = {(3)}^{5}$

Langkah 1.7.2

Substitusikan $3$ ke $x$ dalam $y = {(3)}^{5}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 3^{5}$

Langkah 1.7.2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$y = 243$

Langkah 1.8

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $x^{5}$ .

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Langkah 3.4

Karena $81$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $81$ keluar dari integral.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Langkah 3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Langkah 3.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

Langkah 3.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Langkah 3.9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $3$ dan pada $0$ .

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Langkah 3.9.2.2

Evaluasi $\frac{x^{6}}{6}$ pada $3$ dan pada $0$ .

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.5

Tambahkan $\frac{9}{2}$ dan $0$ .

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.6

Gabungkan $81$ dan $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.7

Kalikan $81$ dengan $9$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $729$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.9.1

Faktorkan $3$ dari $729$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.9.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

Langkah 3.9.2.3.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

Langkah 3.9.2.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.11.1

Faktorkan $6$ dari $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

Langkah 3.9.2.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.11.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Langkah 3.9.2.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Langkah 3.9.2.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

Langkah 3.9.2.3.11.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

Langkah 3.9.2.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

Langkah 3.9.2.3.13

Tambahkan $\frac{243}{2}$ dan $0$ .

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

Langkah 3.9.2.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{729 - 243}{2}$

Langkah 3.9.2.3.15

Kurangi $243$ dengan $729$ .

$\frac{486}{2}$

Langkah 3.9.2.3.16

Hapus faktor persekutuan dari $486$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.16.1

Faktorkan $2$ dari $486$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

Langkah 3.9.2.3.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.16.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

Langkah 3.9.2.3.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.9.2.3.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{243}{1}$

Langkah 3.9.2.3.16.2.4

Bagilah $243$ dengan $1$ .

$243$

Langkah 4