Kalkulus Contoh

$\int x^{3} e^{2 x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{3}$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2} \cdot 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2} \cdot 3$ keluar dari integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 x} (x^{2}) d x)$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $3$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{2 x} (x^{2}) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x)$

Langkah 6.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x)$

Langkah 6.5

Gabungkan $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

Langkah 6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

Langkah 6.6.2

Bagilah $e^{2 x} x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x)$

Langkah 7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Langkah 8.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Langkah 8.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x))$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)))$

Langkah 10

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u))$

Langkah 11

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u))$

Langkah 13.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Langkah 14

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tulis kembali $\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$ sebagai $\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Untuk menuliskan $- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 15.2.2

Gabungkan $- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 15.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{3} e^{2 x} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 15.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 2 (\frac{3}{2}) (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Langkah 15.2.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Langkah 15.2.6

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 6}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Langkah 15.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Langkah 15.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Langkah 15.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Langkah 15.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 3}{1} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Langkah 15.2.7.2.4

Bagilah $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} (x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x})) + C$