Kalkulus Contoh

$x^{2} y + x y^{2} = 6$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y + x y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Langkah 2.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Langkah 2.3.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 x y y' + y^{2}$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y'$

Langkah 3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = - y^{2}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

Langkah 5.2

Faktorkan $x y'$ dari $x^{2} y' + 2 x y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $x^{2} y'$ .

$x y' x + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $2 x y y'$ .

$x y' x + x y' (2 y) = - y^{2} - 2 x y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' x + x y' (2 y)$ .

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ dengan $x (x + 2 y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ dengan $x (x + 2 y)$ .

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 y}{x + 2 y}$

Langkah 5.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (x + 2 y)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{2 y}{x + 2 y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.5

Faktorkan $y$ dari $- y^{2} - 2 y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.5.2

Faktorkan $y$ dari $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.5.3

Faktorkan $y$ dari $y (- y) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.9.1

Tulis kembali $- (y + 2 x)$ sebagai $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.3.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$