Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal f(x)=( log alami dari x)/x
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 1.2
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Gabungkan dan .
Langkah 1.3.2
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.2.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 1.3.2.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 1.3.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.3.4
Kalikan dengan .
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.2
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 2.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.2.2
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.3
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.4
Tambahkan dan .
Langkah 2.2.5
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.3
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.1
Gabungkan dan .
Langkah 2.4.2
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.2.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 2.4.2.2.2
Faktorkan dari .
Langkah 2.4.2.2.3
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 2.4.2.2.4
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 2.4.2.2.5
Bagilah dengan .
Langkah 2.4.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.4.4
Sederhanakan dengan memfaktorkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.4.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.4.4.2
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.4.4.2.2
Faktorkan dari .
Langkah 2.4.4.2.3
Faktorkan dari .
Langkah 2.5
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.5.1
Faktorkan dari .
Langkah 2.5.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 2.5.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 2.6
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.6.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.6.2
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.6.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.6.2.1.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.6.2.1.2
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.6.2.1.2.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.6.2.1.2.2
Sederhanakan dengan memindahkan ke dalam logaritma.
Langkah 2.6.2.2
Kurangi dengan .
Langkah 2.6.3
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.6.4
Faktorkan dari .
Langkah 2.6.5
Faktorkan dari .
Langkah 2.6.6
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 4.1.2
Turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.3.1
Gabungkan dan .
Langkah 4.1.3.2
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.3.2.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 4.1.3.2.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 4.1.3.3
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.3.4
Kalikan dengan .
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Atur agar pembilangnya sama dengan nol.
Langkah 5.3
Selesaikan persamaan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.1
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 5.3.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 5.3.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 5.3.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 5.3.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.3.2.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 5.3.3
Untuk menyelesaikan , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.
Langkah 5.3.4
Tulis kembali dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika dan adalah bilangan riil positif dan , maka setara dengan .
Langkah 5.3.5
Tulis kembali persamaan tersebut sebagai .
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Atur penyebut dalam agar sama dengan untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 6.2
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.1
Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.
Langkah 6.2.2
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.2.2.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 6.2.2.2
Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.
Langkah 6.2.2.3
Tambah atau kurang adalah .
Langkah 6.3
Atur argumen dalam agar lebih kecil dari atau sama dengan untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 6.4
Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan .
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan keluar dari eksponen.
Langkah 9.2
Log alami dari adalah .
Langkah 9.3
Kalikan dengan .
Langkah 9.4
Kalikan dengan .
Langkah 9.5
Kurangi dengan .
Langkah 10
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Log alami dari adalah .
Langkah 11.2.2
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
Langkah 13