Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

Langkah 1

Biarkan $r = 2 \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d r = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positif.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $4$ dari $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Susun kembali suku-suku.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Tulis kembali $4 \sec^{2} (t)$ sebagai ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 \sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $2 \sec (t)$ dari $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (\tan (t))$ .

$\int_{0}^{0.4636476} 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\int_{0}^{0.4636476} 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 3

Karena $8$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 4

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 5

Faktorkan $\tan^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 6

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 7

Sederhanakan.

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Langkah 8

Biarkan $u = \sec (t)$ . Kemudian $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = \sec (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Langkah 8.1.2

Turunan dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Langkah 8.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Langkah 8.3

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 8.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

Langkah 8.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

Langkah 8.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$8 \int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 + u^{2} d u$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$8 (\int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $- u]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ dan $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ .

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Langkah 12.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$8 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $- u + \frac{u^{3}}{3}$ pada $\sec (0.4636476)$ dan pada $1$ .

$8 ((- \sec (0.4636476) + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Untuk menuliskan $- \sec (0.4636476)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$8 (- \sec (0.4636476) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 13.2.2

Gabungkan $- \sec (0.4636476)$ dan $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 13.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3 + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 13.2.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 13.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 13.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Langkah 13.2.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 13.2.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 13.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Langkah 13.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Langkah 13.2.10.2

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 2}{3})$

Langkah 13.2.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - - \frac{2}{3})$

Langkah 13.2.12

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Langkah 13.2.13

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 \sec (0.4636476)$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 14.2

Faktorkan $- 1$ dari $\sec^{3} (0.4636476)$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 14.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))$ .

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 14.4

Tulis kembali $- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ sebagai $- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ .

$8 (\frac{- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 14.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 15

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Bentuk Desimal:

$0.11584138 \dots$

Langkah 16