Kalkulus Contoh

$\int_{4}^{5} x \sqrt{x - 4} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - (\frac{2}{3} \int_{4}^{5} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 4

Biarkan $u = x - 4$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = x - 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 4.1.4

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Langkah 4.3

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 5 - 4$

Langkah 4.5

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ pada $5$ dan pada $4$ .

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Langkah 6.2

Evaluasi $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$\frac{5 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{5 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.4

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.5

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.6

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.7

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.10

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.11

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.12.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.12.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{10}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.12.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{10}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{10}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.14

Tambahkan $\frac{10}{3}$ dan $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.15

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.16

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.17

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Langkah 6.3.18

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Langkah 6.3.19

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.19.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Langkah 6.3.19.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Langkah 6.3.20

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Langkah 6.3.21

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Langkah 6.3.22

Kalikan $0$ dengan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Langkah 6.3.23

Tambahkan $\frac{2}{5}$ dan $0$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Langkah 6.3.24

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Langkah 6.3.25

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Langkah 6.3.26

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{10}{3} - \frac{4}{15}$

Langkah 6.3.27

Untuk menuliskan $\frac{10}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Langkah 6.3.28

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.28.1

Kalikan $\frac{10}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Langkah 6.3.28.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{10 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Langkah 6.3.29

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{10 \cdot 5 - 4}{15}$

Langkah 6.3.30

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.30.1

Kalikan $10$ dengan $5$ .

$\frac{50 - 4}{15}$

Langkah 6.3.30.2

Kurangi $4$ dengan $50$ .

$\frac{46}{15}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{46}{15}$

Bentuk Desimal:

$3.0\overline{6}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$3 \frac{1}{15}$

Langkah 8