Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 36}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 6 \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \sec^{2} (t)$ positif.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $36$ dari $36 \tan^{2} (t) + 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan $36$ dari $36 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan $36$ dari $36$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan $36$ dari $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali $36 \sec^{2} (t)$ sebagai ${(6 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6 \sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $6 \sec (t)$ dari $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{{(6 \tan (t))}^{3}}{6 \sec (t)} (6 \sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int {(6 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $6$ dari $6 \tan (t)$ .

$\int {(6 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $6 (\tan (t))$ .

$\int 6^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 2.2.2.3

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$\int 216 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 3

Karena $216$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $216$ keluar dari integral.

$216 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 4

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$216 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 5

Faktorkan $\tan^{2} (t)$ .

$216 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 6

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$216 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 7

Sederhanakan.

$216 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Langkah 8

Biarkan $u = \sec (t)$ . Kemudian $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = \sec (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Langkah 8.1.2

Turunan dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$216 \int - 1 + u^{2} d u$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$216 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$216 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$216 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$216 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

$216 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Langkah 13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (t)$ .

$216 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

Langkah 13.2

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$216 (- \sec (\arctan (\frac{x}{6})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, \frac{x}{6})$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arctan (\frac{x}{6})$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, \frac{x}{6})$ . Oleh karena itu, $\sec (\arctan (\frac{x}{6}))$ adalah $\sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ .

$216 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{6}$ .

$216 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14.1.3

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$216 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14.1.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$216 (- \sqrt{\frac{36}{36} + \frac{x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$216 (- \sqrt{\frac{36 + x^{2}}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14.1.6

Tulis kembali $\frac{36 + x^{2}}{36}$ sebagai ${(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.6.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $36 + x^{2}$ .

$216 (- \sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{36}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14.1.6.2

Faktorkan kuadrat sempurna $6^{2}$ dari $36$ .

$216 (- \sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14.1.6.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}$ .

$216 (- \sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$216 (- (\frac{1}{6} \sqrt{36 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14.1.8

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $\sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{6}))) + C$

Langkah 14.1.9

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.10

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{6}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{6^{2}}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.11

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.12

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{36}{36} + \frac{x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{36 + x^{2}}{36}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.14

Tulis kembali $\frac{36 + x^{2}}{36}$ sebagai ${(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.14.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $36 + x^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{36}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.14.2

Faktorkan kuadrat sempurna $6^{2}$ dari $36$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.14.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (36 + x^{2})}{6^{2} \cdot 1}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} (36 + x^{2})}}^{3}) + C$

Langkah 14.1.15

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{6} \sqrt{36 + x^{2}})}^{3}) + C$

Langkah 14.1.16

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $\sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6})}^{3}) + C$

Langkah 14.1.17

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{6^{3}}) + C$

Langkah 14.1.18

Gabungkan.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{1 {\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 6^{3}}) + C$

Langkah 14.1.19

Kalikan ${\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}$ dengan $1$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 6^{3}}) + C$

Langkah 14.1.20

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 216}) + C$

Langkah 14.1.21

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.21.1

Tulis kembali ${\sqrt{36 + x^{2}}}^{3}$ sebagai $\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 216}) + C$

Langkah 14.1.21.2

Faktorkan ${(36 + x^{2})}^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{{(36 + x^{2})}^{2} (36 + x^{2})}}{3 \cdot 216}) + C$

Langkah 14.1.21.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{(36 + x^{2}) \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Langkah 14.1.21.4

Terapkan sifat distributif.

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{36 \sqrt{36 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Langkah 14.1.21.5

Faktorkan $\sqrt{36 + x^{2}}$ dari $36 \sqrt{36 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.21.5.1

Faktorkan $\sqrt{36 + x^{2}}$ dari $36 \sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}}{3 \cdot 216}) + C$

Langkah 14.1.21.5.2

Faktorkan $\sqrt{36 + x^{2}}$ dari $x^{2} \sqrt{36 + x^{2}}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + \sqrt{36 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 216}) + C$

Langkah 14.1.21.5.3

Faktorkan $\sqrt{36 + x^{2}}$ dari $\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 36 + \sqrt{36 + x^{2}} x^{2}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3 \cdot 216}) + C$

Langkah 14.1.22

Kalikan $3$ dengan $216$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Langkah 14.2

Untuk menuliskan $- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{108}{108}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6} \cdot \frac{108}{108} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Langkah 14.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $648$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{6}$ dengan $\frac{108}{108}$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108}{6 \cdot 108} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Langkah 14.3.2

Kalikan $6$ dengan $108$ .

$216 (- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108}{648} + \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648}) + C$

Langkah 14.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{648} + C$

Langkah 14.5

Batalkan faktor persekutuan dari $216$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Faktorkan $216$ dari $648$ .

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{216 (3)} + C$

Langkah 14.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$216 \frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{216 \cdot 3} + C$

Langkah 14.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Faktorkan $\sqrt{36 + x^{2}}$ dari $- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108 + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1.1

Faktorkan $\sqrt{36 + x^{2}}$ dari $- \sqrt{36 + x^{2}} \cdot 108$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108) + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.6.1.2

Faktorkan $\sqrt{36 + x^{2}}$ dari $\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108) + \sqrt{36 + x^{2}} (36 + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 \cdot 108 + 36 + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $108$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 108 + 36 + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.6.3

Tambahkan $- 108$ dan $36$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 72 + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.7

Tulis kembali $- 72$ sebagai $- 1 (72)$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72) + x^{2})}{3} + C$

Langkah 14.8

Faktorkan $- 1$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

Langkah 14.9

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (72) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{36 + x^{2}} (- 1 (72 - x^{2}))}{3} + C$

Langkah 14.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\sqrt{36 + x^{2}} (72 - x^{2})}{3} + C$