Kalkulus Contoh

$x^{2} + y^{2} = - 4 x$

Langkah 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = - 4 x - x^{2}$

Langkah 1.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- 4 x - x^{2}}$

Langkah 1.3

Faktorkan $x$ dari $- 4 x - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 4 - x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 4 + x (- x)}$

Langkah 1.3.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot - 4 + x (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{x (- 4 - x)}$

Langkah 1.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{x (- 4 - x)}$

Langkah 1.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{x (- 4 - x)}$

Langkah 1.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{x (- 4 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 4 - x)}$

$y = \sqrt{x (- 4 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 4 - x)}$

$y = \sqrt{x (- 4 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 4 - x)}$

Langkah 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{x (- 4 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (- 4 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 4 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (- 4 - x)}$

Langkah 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = - 4 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Langkah 3.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Langkah 3.2.3

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' + 2 x$

Langkah 3.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4$

Langkah 3.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' + 2 x = - 4$

Langkah 3.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y y' = - 4 - 2 x$

Langkah 3.5.2

Bagi setiap suku pada $2 y y' = - 4 - 2 x$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = - 4 - 2 x$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y' = \frac{2 \cdot - 2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot - 2}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 \cdot - 2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 2}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = - \frac{2}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$y' = - \frac{2}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Langkah 3.5.2.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{2}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

Langkah 3.5.2.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2}{y} - \frac{x}{y}$

Langkah 3.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{y} - \frac{x}{y}$

Langkah 4

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tambahkan $\frac{2}{y}$ ke kedua sisi persamaan.

$- \frac{x}{y} = \frac{2}{y}$

Langkah 4.2

Karena pernyataan pada setiap sisi persamaan mempunyai penyebut yang sama, maka pembilangnya harus sama.

$- x = 2$

Langkah 4.3

Bagi setiap suku pada $- x = 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah setiap suku di $- x = 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Langkah 4.3.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Bagilah $2$ dengan $- 1$ .

$x = - 2$

Langkah 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{x (- 4 - x)}$ at $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = \sqrt{(- 2) (- 4 - (- 2))}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 2 (- 4 + 2)}$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Langkah 5.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{4}$

Langkah 5.2.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

Langkah 5.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 2) = 2$

Langkah 5.2.6

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{x (- 4 - x)}$ at $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = - \sqrt{(- 2) (- 4 - (- 2))}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = - \sqrt{- 2 (- 4 + 2)}$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $2$ .

$f (- 2) = - \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Langkah 6.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = - \sqrt{4}$

Langkah 6.2.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (- 2) = - \sqrt{2^{2}}$

Langkah 6.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 2) = - 1 \cdot 2$

Langkah 6.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (- 2) = - 2$

Langkah 6.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

Langkah 8