Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \sqrt{9 x^{2} + x} - 3 x$

Langkah 1

Kalikan untuk merasionalkan pembilangnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{9 x^{2} + x} - 3 x) (\sqrt{9 x^{2} + x} + 3 x)}{\sqrt{9 x^{2} + x} + 3 x}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perluas pembilangnya menggunakan metode FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{9 x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{9 x^{2} + x} (3 x) + \sqrt{9 x^{2} + x} (- 3 x) - 9 x^{2}}{\sqrt{9 x^{2} + x} + 3 x}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $9 x^{2}$ dengan $9 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{9 x^{2} + x} + 3 x}$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{9 x^{2} + x} + 3 x}$

Langkah 3

Faktorkan $x$ dari $9 x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $x$ dari $9 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (9 x) + x} + 3 x}$

Langkah 3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (9 x) + x^{1}} + 3 x}$

Langkah 3.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (9 x) + x \cdot 1} + 3 x}$

Langkah 3.4

Faktorkan $x$ dari $x (9 x) + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (9 x + 1)} + 3 x}$

Langkah 4

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{3 x}{x}}$

Langkah 5

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{3 x}{x}}$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{3 x}{x}}$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x^{2}}} + 3}$

Langkah 6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x \cdot x}} + 3}$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x \cdot x}} + 3}$

Langkah 6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{9 x + 1}{x}} + 3}$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x + 1}{x}} + 3}$

Langkah 7.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x + 1}{x}} + 3}$

Langkah 7.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 7.4

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 8

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 9.1.2

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 9.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 9.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 9.5

Evaluasi limit dari $9$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 10

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{9 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 11

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{9 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Langkah 11.2

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{9 + 0}{1}} + 3}$

Langkah 11.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Bagilah $9 + 0$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{9 + 0} + 3}$

Langkah 11.3.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Tambahkan $9$ dan $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9} + 3}$

Langkah 11.3.2.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3^{2}} + 3}$

Langkah 11.3.2.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{1}{3 + 3}$

Langkah 11.3.2.4

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$\frac{1}{6}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{6}$

Bentuk Desimal:

$0.1\overline{6}$