Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal f(x)=x^2e^(-x)
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 1.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa adalah di mana =.
Langkah 1.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 1.3
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.3.3
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.3.3.2
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 1.3.3.3
Tulis kembali sebagai .
Langkah 1.3.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.4
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1
Susun kembali suku-suku.
Langkah 1.4.2
Susun kembali faktor-faktor dalam .
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.2.3
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.3.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.2.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa adalah di mana =.
Langkah 2.2.3.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.2.4
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.5
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.6
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.7
Kalikan dengan .
Langkah 2.2.8
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 2.2.9
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 2.3.3
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.3.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.3.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa adalah di mana =.
Langkah 2.3.3.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.3.4
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.3.5
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.3.6
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.3.7
Kalikan dengan .
Langkah 2.3.8
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 2.3.9
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.3.10
Kalikan dengan .
Langkah 2.4
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.1
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.4.2
Terapkan sifat distributif.
Langkah 2.4.3
Gabungkan suku-sukunya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.4.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.4.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.4.3.4
Kalikan dengan .
Langkah 2.4.3.5
Kurangi dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.4.3.5.1
Pindahkan .
Langkah 2.4.3.5.2
Kurangi dengan .
Langkah 2.4.4
Susun kembali suku-suku.
Langkah 2.4.5
Susun kembali faktor-faktor dalam .
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Langkah 4.1.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 4.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa adalah di mana =.
Langkah 4.1.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 4.1.3
Diferensialkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.3.3
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.3.3.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.3.3.2
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 4.1.3.3.3
Tulis kembali sebagai .
Langkah 4.1.3.4
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.4
Sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.4.1
Susun kembali suku-suku.
Langkah 4.1.4.2
Susun kembali faktor-faktor dalam .
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.2
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.3
Faktorkan dari .
Langkah 5.3
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 5.4
Atur sama dengan .
Langkah 5.5
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.5.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.2.1
Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.
Langkah 5.5.2.2
Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena tidak terdefinisi.
Tidak terdefinisi
Langkah 5.5.2.3
Tidak ada penyelesaian untuk
Tidak ada penyelesaian
Tidak ada penyelesaian
Tidak ada penyelesaian
Langkah 5.6
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.6.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.6.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.6.2.1
Kurangkan dari kedua sisi persamaan tersebut.
Langkah 5.6.2.2
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.6.2.2.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 5.6.2.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.6.2.2.2.1
Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.
Langkah 5.6.2.2.2.2
Bagilah dengan .
Langkah 5.6.2.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.6.2.2.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 5.7
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 9.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.3
Apa pun yang dinaikkan ke adalah .
Langkah 9.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.6
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.7
Apa pun yang dinaikkan ke adalah .
Langkah 9.1.8
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.9
Kalikan dengan .
Langkah 9.1.10
Apa pun yang dinaikkan ke adalah .
Langkah 9.1.11
Kalikan dengan .
Langkah 9.2
Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.1
Tambahkan dan .
Langkah 9.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 10
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 11.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.3
Apa pun yang dinaikkan ke adalah .
Langkah 11.2.4
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.5
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 13
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 13.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 13.1.3
Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 13.1.4
Gabungkan dan .
Langkah 13.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 13.1.6
Kalikan dengan .
Langkah 13.1.7
Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 13.1.8
Gabungkan dan .
Langkah 13.1.9
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 13.1.10
Kalikan dengan .
Langkah 13.1.11
Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 13.1.12
Gabungkan dan .
Langkah 13.2
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.2.1
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 13.2.2
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.2.2.1
Kurangi dengan .
Langkah 13.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 13.2.2.3
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 14
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 15
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 15.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 15.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 15.2.3
Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 15.2.4
Gabungkan dan .
Langkah 15.2.5
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 16
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah minimum lokal
adalah maksimum lokal
Langkah 17