Kalkulus Contoh

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = 2 x - 4$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$2 x - x^{2} = 2 x - 4$

Langkah 1.2

Selesaikan $2 x - x^{2} = 2 x - 4$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x - x^{2} - 2 x = - 4$

Langkah 1.2.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x - x^{2} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Kurangi $2 x$ dengan $2 x$ .

$- x^{2} + 0 = - 4$

Langkah 1.2.1.2.2

Tambahkan $- x^{2}$ dan $0$ .

$- x^{2} = - 4$

Langkah 1.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 1.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 1.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 1.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 1.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$y = 2 (2) - 4$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan $2 (2) - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = 4 - 4$

Langkah 1.3.2.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

$y = 2 (- 2) - 4$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan $2 (- 2) - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$y = - 4 - 4$

Langkah 1.4.2.2

Kurangi $4$ dengan $- 4$ .

$y = - 8$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

Langkah 2

Susun kembali $2 x$ dan $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 2}^{2} 2 x - 4 d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - (2 x - 4) d x$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$- x^{2} + 2 x - (2 x) - - 4$

Langkah 4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x - - 4$

Langkah 4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4 d x$

Langkah 4.3

Gabungkan suku balikan dalam $- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangi $2 x$ dengan $2 x$ .

$- x^{2} + 0 + 4$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $- x^{2}$ dan $0$ .

$- x^{2} + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 4 d x$

Langkah 4.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Langkah 4.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Langkah 4.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Langkah 4.7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Langkah 4.8

Terapkan aturan konstanta.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Langkah 4.9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $2$ dan pada $- 2$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Langkah 4.9.2

Evaluasi $4 x$ pada $2$ dan pada $- 2$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Langkah 4.9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Langkah 4.9.3.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Langkah 4.9.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Langkah 4.9.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Langkah 4.9.3.5

Kalikan $\frac{8}{3}$ dengan $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Langkah 4.9.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{8 + 8}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Langkah 4.9.3.7

Tambahkan $8$ dan $8$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Langkah 4.9.3.8

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 - 4 \cdot - 2$

Langkah 4.9.3.9

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 + 8$

Langkah 4.9.3.10

Tambahkan $8$ dan $8$ .

$- \frac{16}{3} + 16$

Langkah 4.9.3.11

Untuk menuliskan $16$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 4.9.3.12

Gabungkan $16$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Langkah 4.9.3.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

Langkah 4.9.3.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.14.1

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$\frac{- 16 + 48}{3}$

Langkah 4.9.3.14.2

Tambahkan $- 16$ dan $48$ .

$\frac{32}{3}$

Langkah 5