Kalkulus Contoh

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (3 x - y))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) (4 x^{3})$

Langkah 2.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x + y$ .

$x^{4} (1 + y') + 4 \cdot (x + y) x^{3}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 (x + y) x^{3}$

Langkah 2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + (4 x + 4 y) x^{3}$

Langkah 2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Langkah 2.6.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Langkah 2.6.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.2.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x) + 4 y x^{3}$

Langkah 2.6.4.2.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x^{1}) + 4 y x^{3}$

Langkah 2.6.4.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3 + 1} + 4 y x^{3}$

Langkah 2.6.4.2.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{4} + 4 y x^{3}$

Langkah 2.6.4.3

Tambahkan $x^{4}$ dan $4 x^{4}$ .

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Langkah 2.6.5

Susun kembali suku-suku.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y^{2}$ dan $g (x) = 3 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$y^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (3 - \frac{d}{d x} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $3 x - y$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 \cdot (3 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 (3 x - y) y y'$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x - y) y y'$

Langkah 3.7.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) + 2 (- y)) y y'$

Langkah 3.7.3

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) y + 2 (- y) y) y'$

Langkah 3.7.4

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Langkah 3.7.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.5.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Langkah 3.7.5.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' + 2 (- y) y y'$

Langkah 3.7.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y \cdot y y'$

Langkah 3.7.5.4

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

Langkah 3.7.5.5

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Langkah 3.7.5.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

Langkah 3.7.5.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{2} y'$

Langkah 3.7.5.8

Kurangi $2 y^{2} y'$ dengan $y^{2} (- y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.5.8.1

Susun kembali $y^{2}$ dan $- 1$ .

$3 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 6 x y y'$

Langkah 3.7.5.8.2

Kurangi $2 y^{2} y'$ dengan $- 1 \cdot y^{2} y'$ .

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y = 3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $y'$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' = 5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Langkah 5.2

Kurangkan $x^{4} y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y$

Langkah 5.3

Kurangkan $3 y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $6 x y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $- x^{4} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Langkah 5.4.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y)$ .

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Langkah 5.4.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4})$ .

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ dengan $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ dengan $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4})}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Langkah 5.5.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Langkah 5.5.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Langkah 5.5.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}$

Langkah 5.5.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $6 x y$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}$

Langkah 5.5.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}$

Langkah 5.5.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{4}$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}$

Langkah 5.5.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Langkah 5.5.3.9

Tulis kembali negatifnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.9.1

Tulis kembali $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ sebagai $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Langkah 5.5.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$