Kalkulus Contoh

${(x + y)}^{3} = x^{3} + y^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 {(x + y)}^{2} (1 + y')$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$3 {(x + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + y)}^{2} y'$

Langkah 2.4.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$ .

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $y'$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $3 y^{2} y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tulis kembali ${(x + y)}^{2}$ sebagai $(x + y) (x + y)$ .

$3 ((x + y) (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.2

Perluas $(x + y) (x + y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (x (x + y) + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.3.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.3.2

Tambahkan $x y$ dan $y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.2.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.3.2.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.4

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.5

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.6

Tulis kembali ${(x + y)}^{2}$ sebagai $(x + y) (x + y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' ((x + y) (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.7

Perluas $(x + y) (x + y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x (x + y) + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.7.2

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.7.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.8

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.8.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.8.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.8.2

Tambahkan $x y$ dan $y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.8.2.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.8.2.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.9

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 3 y' (2 x y) + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.2.10

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $3 y' y^{2}$ dan $- 3 y^{2} y'$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} y' - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.3.2

Kurangi $3 y^{2} y'$ dengan $3 y^{2} y'$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 0 = 3 x^{2}$

Langkah 5.2.3.3

Tambahkan $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y$ dan $0$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2}$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $6 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y$

Langkah 5.3.3

Kurangkan $3 y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y - 3 y^{2}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $3 x^{2}$ dengan $3 x^{2}$ .

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 0 - 6 x y - 3 y^{2}$

Langkah 5.3.5

Kurangi $6 x y$ dengan $0$ .

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

Langkah 5.4

Faktorkan $3 y' x$ dari $3 y' x^{2} + 6 y' x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $3 y' x$ dari $3 y' x^{2}$ .

$3 y' x \cdot x + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $3 y' x$ dari $6 y' x y$ .

$3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $3 y' x$ dari $3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y)$ .

$3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ dengan $3 x (x + 2 y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ dengan $3 x (x + 2 y)$ .

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 6 x y$ .

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.4.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x (x + 2 y)$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

Langkah 5.5.3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

Langkah 5.5.3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + 2 y) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.3.1

Kalikan $\frac{2 y}{x + 2 y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 y x - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.5

Faktorkan $y$ dari $- 2 y x - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.5.2

Faktorkan $y$ dari $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) + y (- y)}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.5.3

Faktorkan $y$ dari $y (- 2 x) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (- 2 x - y)}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - y)}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - (y))}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{y (- (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.9.1

Tulis kembali $- (2 x + y)$ sebagai $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Langkah 5.5.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$