Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

Langkah 4

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Langkah 5

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $\frac{π}{4}$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

Langkah 6.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 7.2

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 7.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 7.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.14644660 \dots$