Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Langkah 1.1.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $\frac{4}{2}$ dan $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Langkah 1.1.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Langkah 1.1.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Langkah 1.1.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Langkah 1.1.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Langkah 1.1.2.5.2.4

Bagilah $2 x^{3}$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} + 6 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $6 x$ dari $6 x^{2} + 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $6 x$ dari $6 x^{2}$ .

$6 x (x) + 12 x = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $6 x$ dari $12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $6 x$ dari $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$6 x (x + 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $6 x (x + 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 2$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

Langkah 3.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 3.3

Substitusikan $- 2$ dalam $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

Langkah 3.3.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 8$ .

$f (- 2) = 8 - 16$

Langkah 3.3.2.2

Kurangi $16$ dengan $8$ .

$f (- 2) = - 8$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 8$ .

$- 8$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 2$ dalam $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ adalah $(- 2, - 8)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 2, - 8)$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $12$ dengan $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

Langkah 5.2.2

Kurangi $25.2$ dengan $26.46$ .

$f'' (- 2.1) = 1.26$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.26$ .

$1.26$

Langkah 5.3

Pada $- 2.1$ , turunan keduanya adalah $1.26$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $12$ dengan $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

Langkah 6.2.2

Kurangi $12$ dengan $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 6$ .

$- 6$

Langkah 6.3

Pada $- 1$ , turunan kedua adalah $- 6$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 2, 0)$

Menurun pada $(- 2, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $12$ dengan $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $0.06$ dan $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.26$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.26$ .

$1.26$

Langkah 7.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $1.26$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

Langkah 9