Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 x^{2} - 3 x - 1$ , $[- 1, 3]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{2} - 3 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$10 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$10 x - 3 + 0$

Langkah 1.1.1.4.2

Tambahkan $10 x - 3$ dan $0$ .

$f' (x) = 10 x - 3$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $10 x - 3$ .

$10 x - 3$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $10 x - 3 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$10 x - 3 = 0$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$10 x = 3$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $10 x = 3$ dengan $10$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $10 x = 3$ dengan $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{3}{10}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 x}{10} = \frac{3}{10}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{3}{10}$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $5 x^{2} - 3 x - 1$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = \frac{3}{10}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $\frac{3}{10}$ untuk $x$ .

$5 {(\frac{3}{10})}^{2} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{10}$ .

$5 \frac{3^{2}}{10^{2}} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$5 \frac{9}{10^{2}} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$5 (\frac{9}{100}) - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.4.1

Faktorkan $5$ dari $100$ .

$5 \frac{9}{5 (20)} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Langkah 1.4.1.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \frac{9}{5 \cdot 20} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Langkah 1.4.1.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Langkah 1.4.1.2.1.5

Kalikan $- 3 (\frac{3}{10})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.5.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{3}{10}$ .

$\frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 1$

Langkah 1.4.1.2.1.5.2

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$\frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 1$

Langkah 1.4.1.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 1$

Langkah 1.4.1.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $\frac{9}{10}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 1$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $\frac{9}{10}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 1$

Langkah 1.4.1.2.2.3

Tulis $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 1}{1}$

Langkah 1.4.1.2.2.4

Kalikan $\frac{- 1}{1}$ dengan $\frac{20}{20}$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Langkah 1.4.1.2.2.5

Kalikan $\frac{- 1}{1}$ dengan $\frac{20}{20}$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Langkah 1.4.1.2.2.6

Susun kembali faktor-faktor dari $10 \cdot 2$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Langkah 1.4.1.2.2.7

Kalikan $2$ dengan $10$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Langkah 1.4.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9 - 9 \cdot 2 - 1 \cdot 20}{20}$

Langkah 1.4.1.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.4.1

Kalikan $- 9$ dengan $2$ .

$\frac{9 - 18 - 1 \cdot 20}{20}$

Langkah 1.4.1.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$\frac{9 - 18 - 20}{20}$

Langkah 1.4.1.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.5.1

Kurangi $18$ dengan $9$ .

$\frac{- 9 - 20}{20}$

Langkah 1.4.1.2.5.2

Kurangi $20$ dengan $- 9$ .

$\frac{- 29}{20}$

Langkah 1.4.1.2.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{29}{20}$

Langkah 1.4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{3}{10}, - \frac{29}{20})$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$5 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$5 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

Langkah 2.1.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 - 3 \cdot - 1 - 1$

Langkah 2.1.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$5 + 3 - 1$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Tambahkan $5$ dan $3$ .

$8 - 1$

Langkah 2.1.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$7$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$5 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 - 1$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$5 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 1$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $9$ .

$45 - 3 \cdot 3 - 1$

Langkah 2.2.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$45 - 9 - 1$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kurangi $9$ dengan $45$ .

$36 - 1$

Langkah 2.2.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $36$ .

$35$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1, 7), (3, 35)$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(3, 35)$

Minimum Mutlak: $(\frac{3}{10}, - \frac{29}{20})$

Langkah 4