Kalkulus Contoh

$\int \arctan (4 t) d t$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arctan (4 t)$ dan $d v = 1$ .

$\arctan (4 t) t - \int t \frac{4}{16 t^{2} + 1} d t$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $t$ dan $\frac{4}{16 t^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{t \cdot 4}{16 t^{2} + 1} d t$

Langkah 2.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $t$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{4 t}{16 t^{2} + 1} d t$

Langkah 3

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\arctan (4 t) t - (4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t)$

Langkah 4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t$

Langkah 5

Biarkan $u = 16 t^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 32 t d t$ sehingga $\frac{1}{32} d u = t d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 16 t^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $16 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2} + 1]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 t^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [16 t^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $16$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $16 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$16 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$32 t + \frac{d}{d t} [1]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$32 t + 0$

Langkah 5.1.4.2

Tambahkan $32 t$ dan $0$ .

$32 t$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u$

Langkah 6.2

Pindahkan $32$ ke sebelah kiri $u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{32 u} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{32}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{32}$ keluar dari integral.

$\arctan (4 t) t - 4 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{32}$ dan $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{- 4}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 (- 1)}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $32$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\arctan (4 t) t + \frac{- 1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $16 t^{2} + 1$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| 16 t^{2} + 1 |) + C$