Kalkulus Contoh

\int_{0}^{1} (x^{2} + 6) e^{- x} d x

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 6) e^{- x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana

u = x^{2} + 6

$u = x^{2} + 6$ dan

d v = e^{- x}

$d v = e^{- x}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

Langkah 2

Kalikan

2

$2$ dengan

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

Langkah 3

Karena

- 2

$- 2$ konstan terhadap

x

$x$ , pindahkan

- 2

$- 2$ keluar dari integral.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

Langkah 4

Kalikan

- 2

$- 2$ dengan

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana

u = x

$u = x$ dan

d v = e^{- x}

$d v = e^{- x}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

Langkah 6

Karena

- 1

$- 1$ konstan terhadap

x

$x$ , pindahkan

- 1

$- 1$ keluar dari integral.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Langkah 7.2

Kalikan

\int_{0}^{1} e^{- x} d x

$\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ dengan

1

$1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Langkah 8

Biarkan

u = - x

$u = - x$ . Kemudian

d u = - d x

$d u = - d x$ sehingga

- d u = d x

$- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan

u

$u$ dan

d

$d$

u

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan

u = - x

$u = - x$ . Tentukan

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan

- x

$- x$ .

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 8.1.2

Karena

- 1

$- 1$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

- x

$- x$ terhadap

x

$x$ adalah

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

- 1 \cdot 1

$- 1 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Langkah 8.2

Substitusikan batas bawah untuk

x

$x$ di

u = - x

$u = - x$ .

u_{lower} = - 0

$u_{lower} = - 0$

Langkah 8.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Langkah 8.4

Substitusikan batas atas untuk

x

$x$ di

u = - x

$u = - x$ .

u_{upper} = - 1 \cdot 1

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Langkah 8.5

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

u_{upper} = - 1

$u_{upper} = - 1$

Langkah 8.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk

u_{lower}

$u_{lower}$ dan

u_{upper}

$u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = - 1

$u_{upper} = - 1$

Langkah 8.7

Tulis kembali soalnya menggunakan

u

$u$ ,

d u

$d u$ , dan batas integral yang baru.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

Langkah 9

Karena

- 1

$- 1$ konstan terhadap

u

$u$ , pindahkan

- 1

$- 1$ keluar dari integral.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

Langkah 10

Integral dari

e^{u}

$e^{u}$ terhadap

u

$u$ adalah

e^{u}

$e^{u}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi

(x^{2} + 6) (- e^{- x})

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})$ pada

1

$1$ dan pada

0

$0$ .

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Langkah 11.2

Evaluasi

x (- e^{- x})

$x (- e^{- x})$ pada

1

$1$ dan pada

0

$0$ .

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Langkah 11.3

Evaluasi

e^{u}

$e^{u}$ pada

- 1

$- 1$ dan pada

0

$0$ .

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

(1 + 6) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$(1 + 6) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.2

Tambahkan

1

$1$ dan

6

$6$ .

7 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$7 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

7 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$7 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

7

$7$ .

- 7 e^{- 1} - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$- 7 e^{- 1} - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.5

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$- 7 e^{- 1} - (0 + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.6

Tambahkan

$0$ dan

$6$ .

$- 7 e^{- 1} - 1 \cdot 6 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.7

Kalikan

$- 1$ dengan

$6$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.8

Kalikan

$- 1$ dengan

$0$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.9

Apa pun yang dinaikkan ke

$0$ adalah

$1$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.10

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.11

Kalikan

$- 6$ dengan

$- 1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.12

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.13

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.14

Kalikan

$- 1$ dengan

$0$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.15

Apa pun yang dinaikkan ke

$0$ adalah

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.16

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.17

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.18

Tambahkan

$- e^{- 1}$ dan

$0$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Langkah 11.4.19

Apa pun yang dinaikkan ke

$0$ adalah

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

Langkah 11.4.20

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Langkah 12.1.2

Gabungkan

$- 7$ dan

$\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 7}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Langkah 12.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Langkah 12.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

Langkah 12.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

Langkah 12.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

Langkah 12.1.4.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

Langkah 12.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

Langkah 12.1.6

Kurangi

$1$ dengan

$- 1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

Langkah 12.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

Langkah 12.1.8

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

Langkah 12.1.9

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

Langkah 12.1.10

Kalikan

$2 (- \frac{2}{e})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.10.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$2$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

Langkah 12.1.10.2

Gabungkan

$- 2$ dan

$\frac{2}{e}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

Langkah 12.1.10.3

Kalikan

$- 2$ dengan

$2$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + \frac{- 4}{e}$

Langkah 12.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 - \frac{4}{e}$

Langkah 12.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 + 2 + \frac{- 7 - 4}{e}$

Langkah 12.3

Kurangi

$4$ dengan

$- 7$ .

$6 + 2 + \frac{- 11}{e}$

Langkah 12.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 + 2 - \frac{11}{e}$

Langkah 12.5

Tambahkan

$6$ dan

$2$ .

$8 - \frac{11}{e}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$8 - \frac{11}{e}$

Bentuk Desimal:

$3.95332614 \dots$

Langkah 14