Kalkulus Contoh

\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Langkah 1

Biarkan

u = 8 x

$u = 8 x$ . Kemudian

d u = 8 d x

$d u = 8 d x$ sehingga

\frac{1}{8} d u = d x

$\frac{1}{8} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan

u

$u$ dan

d

$d$

u

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan

u = 8 x

$u = 8 x$ . Tentukan

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan

8 x

$8 x$ .

\frac{d}{d x} [8 x]

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Langkah 1.1.2

Karena

8

$8$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

8 x

$8 x$ terhadap

x

$x$ adalah

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$ .

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

8 \cdot 1

$8 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan

8

$8$ dengan

1

$1$ .

8

$8$

8

$8$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk

x

$x$ di

u = 8 x

$u = 8 x$ .

u_{lower} = 8 \cdot 0

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

Langkah 1.3

Kalikan

8

$8$ dengan

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk

x

$x$ di

u = 8 x

$u = 8 x$ .

u_{upper} = 8 \cdot 8

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

Langkah 1.5

Kalikan

8

$8$ dengan

8

$8$ .

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk

u_{lower}

$u_{lower}$ dan

u_{upper}

$u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan

u

$u$ ,

d u

$d u$ , dan batas integral yang baru.

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Langkah 2

Gabungkan

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ dan

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ .

\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Langkah 3

Karena

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ konstan terhadap

u

$u$ , pindahkan

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ sebagai

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ terhadap

u

$u$ adalah

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada

64

$64$ dan pada

0

$0$ .

\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali

64

$64$ sebagai

8^{2}

$8^{2}$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.4

Naikkan

$8$ menjadi pangkat

$3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.5

Gabungkan

$\frac{2}{3}$ dan

$512$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.6

Kalikan

$2$ dengan

$512$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7

Tulis kembali

$0$ sebagai

$0^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.8

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.9

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 6.2.10

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Langkah 6.2.11

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Langkah 6.2.12

Kalikan

$0$ dengan

$\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

Langkah 6.2.13

Tambahkan

$\frac{1024}{3}$ dan

$0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

Langkah 6.2.14

Kalikan

$\frac{1}{8}$ dengan

$\frac{1024}{3}$ .

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

Langkah 6.2.15

Kalikan

$8$ dengan

$3$ .

$\frac{1024}{24}$

Langkah 6.2.16

Hapus faktor persekutuan dari

$1024$ dan

$24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.16.1

Faktorkan

$8$ dari

$1024$ .

$\frac{8 (128)}{24}$

Langkah 6.2.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.16.2.1

Faktorkan

$8$ dari

$24$ .

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Langkah 6.2.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Langkah 6.2.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{128}{3}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{128}{3}$

Bentuk Desimal:

$42.\overline{6}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$42 \frac{2}{3}$

Langkah 8