Kalkulus Contoh

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

Langkah 1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $x = 3 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 3 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positif.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.6

Tulis kembali $9 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 3.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 3.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Langkah 3.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Langkah 3.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 3.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 4

Karena $9$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 5

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

Langkah 10.3

Kalikan $2$ dengan $- 0.72972765$ .

$u_{lower} = - 1.45945531$

Langkah 10.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

Langkah 10.5

Kalikan $2$ dengan $0.3398369$ .

$u_{upper} = 0.67967381$

Langkah 10.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

Langkah 10.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 11

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

Langkah 13

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $t$ pada $0.3398369$ dan pada $- 0.72972765$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Langkah 14.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $0.67967381$ dan pada $- 1.45945531$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

Langkah 14.3

Tambahkan $0.3398369$ dan $0.72972765$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Langkah 15.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Langkah 15.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Langkah 15.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.4.1

Evaluasi $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Langkah 15.1.4.2

Bagilah $0.62853936$ dengan $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Langkah 15.1.4.3

Evaluasi $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

Langkah 15.1.4.4

Bagilah $- 0.99380799$ dengan $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

Langkah 15.1.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

Langkah 15.1.5

Tambahkan $0.31426968$ dan $0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

Langkah 15.2

Tambahkan $1.06956456$ dan $0.81117367$ .

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

Langkah 15.3

Kalikan $\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Gabungkan $\frac{9}{2}$ dan $1.88073824$ .

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

Langkah 15.3.2

Kalikan $9$ dengan $1.88073824$ .

$\frac{16.92664417}{2}$

Langkah 15.4

Bagilah $16.92664417$ dengan $2$ .

$8.46332208$

Langkah 16