Kalkulus Contoh

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

Langkah 3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $6 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Langkah 5.2

Faktorkan $3 y'$ dari $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $3 y'$ dari $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ dengan $3 (x^{2} + y^{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ dengan $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 6 x y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Langkah 5.3.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{2} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $- x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.2.3

Faktorkan $x$ dari $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.6.1

Tulis kembali $- (x + 2 y)$ sebagai $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$