Kalkulus Contoh

$\int \sin^{2} (θ) d θ$

Langkah 1

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (θ)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

Langkah 2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

Langkah 6

Biarkan $u = 2 θ$ . Kemudian $d u = 2 d θ$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 2 θ$ . Tentukan $\frac{d u}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Langkah 6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 θ$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 7

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Langkah 9

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 θ$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\sin (2 θ)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $θ$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Langkah 12.4

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 12.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$