Kalkulus Contoh

${(x + x^{- 1})}^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x + x^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + x^{- 1}$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + x^{- 1}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 - x^{- 2})$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - x^{- 2})$

Langkah 3.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.3

Tulis kembali ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ sebagai $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$3 ((x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.4

Perluas $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.4.3

Terapkan sifat distributif.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.1.4

Kalikan $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.4.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.1.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.1.4.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.1.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.1.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.6

Terapkan sifat distributif.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 2 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$(3 x^{2} + 6 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.7.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.8

Perluas $(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$3 x^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$3 x^{2} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.2.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x^{2} + 3 \cdot - 1 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.5

Kalikan $6 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - 6 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.5.2

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.7

Kalikan $\frac{3}{x^{2}}$ dengan $1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Langkah 3.9.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3.9.9

Kalikan $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.9.1

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $\frac{3}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2} x^{2}}$

Langkah 3.9.9.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.9.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2 + 2}}$

Langkah 3.9.9.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

Langkah 3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6 + 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Langkah 3.11

Tambahkan $- 6$ dan $3$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Langkah 3.12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Langkah 3.12.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

Langkah 3.13

Tambahkan $- 3$ dan $6$ .

$3 x^{2} + 3 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$