Kalkulus Contoh

$\int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{5 \sqrt{x}} d x$

Langkah 1

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 2.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 2.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 2.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 2.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ sehingga $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Langkah 3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{\frac{1}{2}} + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.1.3.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.1.3.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.1.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.1.3.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.1.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

Langkah 3.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Langkah 3.1.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Langkah 3.1.5.2.2

Tambahkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{5} \int 2 u^{2} d u$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{5} (2 \int u^{2} d u)$

Langkah 5

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} \int u^{2} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ sebagai $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{3} + C$

Langkah 7.2.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{2}{15} u^{3} + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{2}{15} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{3} + C$