Kalkulus Contoh

$\int t e^{- 3 t} d t$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = e^{- 3 t}$ .

$t (- \frac{1}{3} e^{- 3 t}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $e^{- 3 t}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$t (- \frac{e^{- 3 t}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Langkah 2.2

Gabungkan $t$ dan $\frac{e^{- 3 t}}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- \frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - (- \frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t)$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t$

Langkah 5

Biarkan $u = - 3 t$ . Kemudian $d u = - 3 d t$ sehingga $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = - 3 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Langkah 5.1.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 3 t$ terhadap $t$ adalah $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Langkah 6.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Langkah 9.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Langkah 10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis kembali $- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ sebagai $- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gabungkan $t$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t}{3} e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Langkah 11.2.2

Gabungkan $e^{- 3 t}$ dan $\frac{t}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 3 t$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$

Langkah 13

Gabungkan $e^{- 3 t}$ dan $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{e^{- 3 t}}{9} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{3} e^{- 3 t} t - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$