Kalkulus Contoh

\frac{ln (x)}{x}

$\frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana

f (x) = ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ dan

g (x) = x

$g (x) = x$ .

\frac{x \frac{d}{d x} [ln (x)] - ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan dari

$\ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan

$x$ dan

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.3.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana

$f (x) = 1 - \ln (x)$ dan

$g (x) = x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan eksponen dalam

${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$1 - \ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.2.3

Karena

$1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$1$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan

$0$ dan

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.2.5

Karena

$- 1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- \ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.3

Turunan dari

$\ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Gabungkan

$x^{2}$ dan

$\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari

$x^{2}$ dan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Faktorkan

$x$ dari

$x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Naikkan

$x$ menjadi pangkat

$1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Faktorkan

$x$ dari

$x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.4.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.4.2.2.5

Bagilah

$x$ dengan

$1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.4.4

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Kalikan

$2$ dengan

$- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Langkah 2.4.4.2

Faktorkan

$x$ dari

$- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.2.1

Faktorkan

$x$ dari

$- x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Langkah 2.4.4.2.2

Faktorkan

$x$ dari

$- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Langkah 2.4.4.2.3

Faktorkan

$x$ dari

$x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Langkah 2.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan

$x$ dari

$x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.1

Kalikan

$- 2$ dengan

$1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Langkah 2.6.2.1.2

Kalikan

$- 2 (- \ln (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Langkah 2.6.2.1.2.2

Sederhanakan

$2 \ln (x)$ dengan memindahkan

$2$ ke dalam logaritma.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Langkah 2.6.2.2

Kurangi

$2$ dengan

$- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Langkah 2.6.3

Tulis kembali

$- 3$ sebagai

$- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Langkah 2.6.4

Faktorkan

$- 1$ dari

$\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Langkah 2.6.5

Faktorkan

$- 1$ dari

$- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Langkah 2.6.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan

$0$ , lalu selesaikan.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana

$f (x) = \ln (x)$ dan

$g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.2

Turunan dari

$\ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Gabungkan

$x$ dan

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 4.1.3.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari

$f (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan

$0$ dan selesaikan persamaan

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan

$0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 - \ln (x) = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan

$1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \ln (x) = - 1$

Langkah 5.3.2

Bagi setiap suku pada

$- \ln (x) = - 1$ dengan

$- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Bagilah setiap suku di

$- \ln (x) = - 1$ dengan

$- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah

$\ln (x)$ dengan

$1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Bagilah

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Langkah 5.3.3

Untuk menyelesaikan

$x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali

$\ln (x) = 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika

$x$ dan

$b$ adalah bilangan riil positif dan

$b \neq 1$ , maka

$\log_{b} (x) = y$ setara dengan

$b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

$x = e^{1}$ .

$x = e$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ agar sama dengan

$0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan

$\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis kembali

$0$ sebagai

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 6.2.2.3

Tambah atau kurang

$0$ adalah

$0$ .

$x = 0$

Langkah 6.3

Atur argumen dalam

$\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan

$0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 6.4

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan

$0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari

$0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan

$0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = e$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada

$x = e$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

Langkah 9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan

$2$ keluar dari eksponen.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

Langkah 9.2

Log alami dari

$e$ adalah

$1$ .

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

Langkah 9.3

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

Langkah 9.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$2$ .

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

Langkah 9.5

Kurangi

$2$ dengan

$3$ .

$- \frac{1}{e^{3}}$

Langkah 10

$x = e$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = e$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika

$x = e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$e$ pada pernyataan tersebut.

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Log alami dari

$e$ adalah

$1$ .

$f (e) = \frac{1}{e}$

Langkah 11.2.2

Jawaban akhirnya adalah

$\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$(e, \frac{1}{e})$ adalah maksimum lokal

Langkah 13