Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 25}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} - 25}$ sebagai ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} - 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 25$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.7.3

Pindahkan ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 25$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Langkah 1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Langkah 1.10

Karena $- 25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 1.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 1.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 1.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.4.2

Kalikan ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} - 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.10.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.10.3

Pindahkan ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.10.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.11

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 25$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.13

Karena $- 25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.14

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.14.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.14.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.14.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.14.4

Gabungkan $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.15

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.16

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.17

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.18

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.19

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.20

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.20.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.20.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.20.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.21

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.22

Untuk menuliskan ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.23

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.24

Kalikan ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.24.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.24.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.24.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.24.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 25) - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.25

Sederhanakan ${(x^{2} - 25)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 25 - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.26

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.27

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.27.1

Kurangi $25$ dengan $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.27.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.28

Tulis kembali $\frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$ sebagai hasil kali.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 25}$

Langkah 2.29

Kalikan $\frac{1}{x^{2} - 25}$ dengan $\frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.30

Kalikan $x^{2} - 25$ dengan ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.30.1

Kalikan $x^{2} - 25$ dengan ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.30.1.1

Naikkan $x^{2} - 25$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.30.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Langkah 2.30.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 2.30.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Langkah 2.30.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} - 25}$ sebagai ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} - 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 25$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.7.3

Pindahkan ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Langkah 4.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 25$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Langkah 4.1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Langkah 4.1.10

Karena $- 25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 4.1.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 4.1.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 4.1.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 5.3

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ benar.

$Tidak ada penyelesaian$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 25)}^{1}}}$

Langkah 6.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$

Langkah 6.2

Atur penyebut dalam $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt{x^{2} - 25} = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{x^{2} - 25}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} - 25}$ sebagai ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Sederhanakan ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(x^{2} - 25)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x^{2} - 25 = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x^{2} - 25 = 0$

Langkah 6.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Tambahkan $25$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 25$

Langkah 6.3.3.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{25}$

Langkah 6.3.3.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.3.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Langkah 6.3.3.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 5$

Langkah 6.3.3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 5$

Langkah 6.3.3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 5$

Langkah 6.3.3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 5, - 5$

Langkah 6.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x^{2} - 25}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} - 25 < 0$

Langkah 6.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tambahkan $25$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} < 25$

Langkah 6.5.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{25}$

Langkah 6.5.3

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | < \sqrt{25}$

Langkah 6.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.2.1

Sederhanakan $\sqrt{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.2.1.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$| x | < \sqrt{5^{2}}$

Langkah 6.5.3.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | < | 5 |$

Langkah 6.5.3.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $5$ adalah $5$ .

$| x | < 5$

Langkah 6.5.4

Tulis $| x | < 5$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.4.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 6.5.4.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x < 5$

Langkah 6.5.4.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 6.5.4.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x < 5$

Langkah 6.5.4.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x < 5 & x \geq 0 \\ - x < 5 & x < 0 \end{cases}$

Langkah 6.5.5

Tentukan irisan dari $x < 5$ dan $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 5$

Langkah 6.5.6

Selesaikan $- x < 5$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.6.1

Bagi setiap suku pada $- x < 5$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.6.1.1

Bagi setiap suku dalam $- x < 5$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

Langkah 6.5.6.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.6.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

Langkah 6.5.6.1.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x > \frac{5}{- 1}$

Langkah 6.5.6.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.6.1.3.1

Bagilah $5$ dengan $- 1$ .

$x > - 5$

Langkah 6.5.6.2

Tentukan irisan dari $x > - 5$ dan $x < 0$ .

$- 5 < x < 0$

Langkah 6.5.7

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- 5 < x < 5$

Langkah 6.6

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - 5, 5$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 5$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{25}{{({(- 5)}^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{25}{{(25 - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9.1.2

Kurangi $25$ dengan $25$ .

$- \frac{25}{0^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9.1.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- \frac{25}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9.1.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{25}{0^{3}}$

Langkah 9.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{25}{0}$

Langkah 9.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 10

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 11