Kalkulus Contoh

$f (x) = - 3 | x |$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 | x |$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$

Langkah 1.2

Turunan dari $| x |$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{| x |}$ .

$- 3 \frac{x}{| x |}$

Langkah 1.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{- 3 x}{| x |}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 x}{| x |}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3 x}{| x |}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{| x |}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{x}{| x |}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $| x |$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.4

Turunan dari $| x |$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.5

Gabungkan $\frac{x}{| x |}$ dan $x$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.10

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{3 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - \frac{3 | x | + 3 (- \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.2.1

Kalikan $3 (- \frac{x^{2}}{| x |})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 | x | - 3 \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.2.1.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 | x | + \frac{- 3 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{3 | x | - \frac{3 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 | x | - \frac{3 x^{2}}{| x |}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 | x |$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (| x |) - \frac{3 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.1.2

Faktorkan $3$ dari $- \frac{3 x^{2}}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (| x |) + 3 (- \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 (| x |) + 3 (- \frac{x^{2}}{| x |})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.2

Untuk menuliskan $| x |$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.3.4.1

Kalikan $| x | | x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.3.4.1.1

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.4.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.4.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.4.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.4.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.4.2

Hapus suku-suku non-negatif dari nilai mutlak.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.4.3

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{0}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.3.5

Bagilah $0$ dengan $| x |$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot 0}{{| x |}^{2}}$

Langkah 2.12.4

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot 0}{x^{2}}$

Langkah 2.12.5

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

Langkah 2.12.6

Bagilah $0$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 0$

Langkah 2.12.7

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (x) = 0$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{3 x}{| x |} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 | x |$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $| x |$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{| x |}$ .

$- 3 \frac{x}{| x |}$

Langkah 4.1.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{- 3 x}{| x |}$

Langkah 4.1.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{3 x}{| x |}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{3 x}{| x |}$ .

$- \frac{3 x}{| x |}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{3 x}{| x |} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{3 x}{| x |} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$3 x = 0$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $3 x = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$x = 0$

Langkah 5.4

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $- \frac{3 x}{| x |} = 0$ benar.

$Tidak ada penyelesaian$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{3 x}{| x |}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$| x | = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Langkah 6.2.2

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$0$

Langkah 9

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 9.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $- \frac{3 x}{| x |}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - \frac{3 (- 2)}{| - 2 |}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 6}{| - 2 |}$

Langkah 9.2.2.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 2$ dan $0$ adalah $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 6}{2}$

Langkah 9.2.2.3

Bagilah $- 6$ dengan $2$ .

$f' (- 2) = 3$

Langkah 9.2.2.4

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 9.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, \infty)$ dalam turunan pertama $- \frac{3 x}{| x |}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - \frac{3 (2)}{| 2 |}$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f' (2) = - \frac{6}{| 2 |}$

Langkah 9.3.2.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$f' (2) = - \frac{6}{2}$

Langkah 9.3.2.3

Bagilah $6$ dengan $2$ .

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

Langkah 9.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (2) = - 3$

Langkah 9.3.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 9.4

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah maksimum lokal.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 10