Kalkulus Contoh

$g (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ , $[- 1, 1]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t^{2}$ dan $g (t) = t^{2} + 3$ .

$\frac{(t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 3) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + 3) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 3$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.5

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.6.1

Tambahkan $2 t$ dan $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 t^{2} + 2 \cdot 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.3.1.1

Kalikan $t^{2}$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.3.1.1.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6.3.1.1.2

Kalikan $t$ dengan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.3.1.1.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.3.2.1

Kurangi $2 t^{3}$ dengan $2 t^{3}$ .

$\frac{6 t + 0}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6.3.2.2

Tambahkan $6 t$ dan $0$ .

$f' (t) = \frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $g (t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$6 t = 0$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $6 t = 0$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $6 t = 0$ dengan $6$ .

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $t$ dengan $1$ .

$t = \frac{0}{6}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $6$ .

$t = 0$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ di setiap nilai $t$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $t = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 3}$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0 + 3}$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$\frac{0}{3}$

Langkah 1.4.1.2.3

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$0$

Langkah 1.4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $t = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $- 1$ untuk $t$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{1 + 3}$

Langkah 2.1.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $t = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $1$ untuk $t$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{1^{2} + 3}$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{1 + 3}$

Langkah 2.2.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Langkah 3

Bandingkan nilai $g (t)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $t$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $g (t)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $g (t)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Minimum Mutlak: $(0, 0)$

Langkah 4